שיעור 72: נקודות פיתול ותחומי קעירות עם פונקציית מנה 3

מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)

1🟢 תרגיל 3: נקודת פיתול ותחומי קעירות של פונקציית מנה – x בריבוע ועוד 8 חלקי x

🟢 תרגיל 3: נקודת פיתול ותחומי קעירות של פונקציית מנה – x בריבוע ועוד 8 חלקי x

מצא נקודות פיתול ותחומי קעירות כלפי מעלה ומטה לפונקציה: y = x² + 8x

תחום הגדרה: x ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית x = 0.

נגזרת מנה: fg → f′·g − g′·fg²

y′ = 2x + 0·x − 1·8x² = 2x − 8x²

y″ = 2 − (0·x² − 2x·8x⁴)

y″ = 2 + 16xx⁴ = 2 + 16x³

משווים לאפס: 2 + 16x³ = 0

16x³ = −21 ← כפל בהצלבה

16 = −2x³

x³ = −8

🟢 תרגיל 3: נקודת פיתול ותחומי קעירות של פונקציית מנה – x בריבוע ועוד 8 חלקי x · המשך

x³ = −8

x = −2 ← חשודה לפיתול (שורש שלישי של −8)

מציבים ב-y″ בכל תחום (כולל משני צידי האסימפטוטה x = 0):

x = −3 → y″ = 2 + 16(−3)³ > 0

x = −1 → y″ = 2 + 16(−1)³ < 0

x = 1 → y″ = 2 + 161³ > 0

x	x<−2	−2	−2<x<0	0	x>0
y″	+	0	−	✕	+
y	∪	פיתול	∩	אסימפטוטה	∪

ב-x = −2 יש שינוי מ-∪ ל-∩ ← נקודת פיתול.

🟢 תרגיל 3: נקודת פיתול ותחומי קעירות של פונקציית מנה – x בריבוע ועוד 8 חלקי x · המשך

ב-x = −2 יש שינוי מ-∪ ל-∩ ← נקודת פיתול.

מציבים בפונקציה המקורית:

y = (−2)² + 8−2 = 4 − 4 = 0

✅ ∪ x > 0 , x < −2
∩ −2 < x < 0
נקודת פיתול (−2 , 0)

📌 לזכור

💡 בפונקציית מנה בודקים את סימן y″ גם משני צידי האסימפטוטה האנכית – הקעירות יכולה להתחלף שם, אבל זו לא נקודת פיתול (הנקודה לא בתחום ההגדרה).

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא